Gyvasis pasaulis paklūsta matematikai

Fantastiniame humoristiniame Douglaso Adamso romane „Keliautojo autostopu vadovas po galaktiką“ pasakojama apie nežemiškos civilizacijos sukurtą superkompiuterį, kuris į klausimą, kokia yra gyvenimo, Visatos ir viso kito esmė, atsakė – 42. Šis autoriaus pokštas kada nors gali pasirodyti ne toks ir juokingas.

2007 metais fizikas teoretikas Maxas Tegmarkas paskelbė matematinės Visatos hipotezę. Jo manymu, mūsų fizinė tikrovė yra matematinė struktūra – Visata ne aprašoma matematiškai, o ji pati yra matematika. Mūsų neabejotinai dar laukia daug staigmenų. Kaip ir minėtos knygos herojų.

Tad kas yra matematika? Ar instrumentas, padedantis įžvelgti ir aprašyti įvairius pasaulio reiškinius, be kurio neišsiverčia inžinieriai, fizikai, o vis dažniau ir biologai? Ar tai kažkas daugiau – mąstymo būdas ir gal net filosofijos dalis? Apie tai kalbamės su šių metų Lietuvos mokslo premijos laureatais teorinės matematikos srityje.

„Dauguma sieja matematiką su skaičiavimais, bet iš tikrųjų jos esmė – platesnė. Tai ypatingas mąstymo būdas, naudojant abstrakčias sąvokas, abstrakčius objektus, kurių prigimtis matematikai visai nesvarbi. Iš kito pusės, matematika taikoma visuose tiksliuosiuose moksluose“, – sako matematikas prof. Antanas Laurinčikas.

Pirmieji skaičių magiją pastebėjo graikai

Viskas prasidėjo nuo abstrakčios esybės – skaičiaus, nusakančio kieno nors kiekį. Skaičius pagimdė praktiniai poreikiai. Manoma, kad pirmieji juos ėmė naudoti šumerai prieš 6000 metų. Jų skaičiavimo sistemų pagrindas buvo dešimtainė ir šešiasdešimtainė sistemos. Žemdirbiai taip skaičiuodavo gyvulius ir savo gaminius.

Geometrijos pradmenys susiformavo Babilone ir Egipte, kur savininkams reikėdavo tiksliai išmatuoti sklypų ribas. Skaičių atradimas pakeitė pasaulį ir mūsų supratimą apie jį. Senovės graikai labai žavėjosi skaičiais. Jie manė, kad tai vienintelis stabilus dalykas nuolat besikeičiančiame pasaulyje.

Jiems jau kur kas vėliau pritarė vokietis algebros specialistas Leopoldas Kroneckeris. Jis teigė, kad skaičiai yra iš Dievo, o visa kita sukūrė žmogus. Graikai pirmieji pastebėjo ir skaičių magiją – keistus dėsningumus, simetrijas ir nepaaiškinamus derinius.

„Jie galvojo, kad skaičiai turi tam tikrų mistikos elementų. Pvz., jie įrodė, kad šaknis iš dviejų nėra racionalusis skaičius. Jo negalima užrašyti kaip trupmenos. Tai buvo didelis šokas, nes tai visiškai kitokios prigimties skaičius. Jie galvojo, kad tai pažeidžia harmoniją, ir net tam tikrą laiką slėpė šį faktą, kad neišardytų visuomenės tokia netikėta idėja. Taip sako istorija“, – pasakoja prof. Ramūnas Garunkštis.

Aukso pjūvį galima įžvelgti ir L. da Vinci darbuose

Skaičiai ir jų grupės turi gražių simetrijų. Pavyzdžiui, Fibonačio skaičių seka ypatinga tuo, kad kiekvienas šios sekos skaičius, pradedant nuo trečiojo, gaunamas sudėjus du ankstesnius sekos skaičius, o gretimų skaičių santykis apytikriai yra aukso pjūvio santykis (1.6).

Mokslininkai pastebėjo, kad ši skaičių seka būdinga daugeliui gyvosios gamtos objektų – pradedant moliuskų kriauklėmis ir baigiant galaktikų spiralėmis. Gamtoje randamos proporcijos yra universalios ir malonios žmogaus akiai. Todėl šis aukso pjūvis naudotas jau Egipte, statant piramides. Jį galima įžvelgti ir Leonardo da Vinci darbuose „Vitruvijaus žmogus“ arba „Mona Liza“.

Simetrijos veikia, jos padeda įrodyti teoremas, sukurti koncepcijas. Net ir elementariųjų dalelių medžiotojai yra sukūrę supersimetrijos modelį – jie mano, kad būtinai suras trūkstamas keliolika dalelių ir tai padės įminti daugelį fizikos bei Visatos struktūros mįslių.

„Algebra – tai mokslas apie simetrijas. Pavyzdžiui, grupių teorija. Jeigu kažką tiri ir aptinki kažkokią simetriją – tai ženklas, kad greičiausiai esi teisingame kelyje“, – teigia R. Garunkštis.

Nors skaičiais manipuliuoti žmonija pradėjo seniai, moderniosios matematikos pradžios reiktų ieškoti senovės Graikijoje – dar gerokai prieš mūsų eros pradžią.

„Į galvą pirmiausia ateina Euklidas ir jo geometrija. Tai buvo visiškai tiksli, pagal kanonus sukurta matematika. Matematika buvo ir prieš tai. Sako, kad graikai daug ką išmoko iš babiloniečių. Bet ten buvo daugiau praktinė matematika. O teorinė matematika prasidėjo kartu su graikais“, – pasakoja R. Garunkštis.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai niekam nereikalingas dalykas. Matematika matematikai, panašiai kaip menas menui. Tačiau ji labai gerai vertinama, kadangi žinoma nemažai pavyzdžių, kaip teoriniai svarstymai bei modeliai buvo pritaikyti įvairiose gyvenimo ir mokslo srityse.

„Šiais laikais populiariausias mąstymo būdas yra mokslinis. Už tokį mąstymą dideli pinigai mokami. O šio mąstymo viršūnė yra matematika. Būtent teorinė matematika. Nes čia visi teiginiai suformuluojami visiškai tiksliai. Teiginys yra arba teisingas, arba klaidingas. Ir jis toks bus visada“, – tvirtina R. Garunkštis.

Nebėra žmogaus, galinčio aprėpti ir suvokti matematikos plėtrą

Viena įdomiausių teorinės matematikos tyrimų sričių yra skaičių teorija. Dar prieš penkiasdešimt metų garsus matematikas Jeffrey Hardee sakė, kad skaičių teorija – absoliučiai teorinė šaka, neturinti jokių praktinių taikymų. Ir puiku, kad viskas vyksta dėl pačių formulių grožio, įrodymų estetikos.

Bet, pasak R. Garunkščio, praėjo nedaug laiko ir net skaičių teorija tapo pritaikoma: „[Pavyzdžiui,] informacijos kodavimas ar šifravimas. Tai dažniausiai gryna skaičių teorija, pagrįsta pirminių skaičių savybėmis, kuri naudojama bankininkystėje.“

Daug Visatos ir mus supančio pasaulio savybių galima aprašyti teigiamais sveikaisiais skaičiais: pradedant planetų orbitomis, muzikine harmonija, cheminių elementų santykiais periodinėje lentelėje ir baigiant triušių dauginimusi arba ramunės žiedlapių skaičiumi.

Sveikieji skaičiai labai svarbūs žmogaus mokslinio suvokimo evoliucijoje. Pavyzdžiui, prancūzų chemikas Antoine`as Lavoisier pastebėjo, kad dalys, kuriomis elementai įeina į cheminį junginį, yra sveikieji skaičiai. Degant vandeniliui, reikia dviejų, o ne maždaug dviejų dalių vandenilio ir vienos, o ne maždaug vienos dalies deguonies. Taip gaunama formulė H₂O. Būtent tai padėjo chemikams įsitikinti, jog cheminės medžiagos sudarytos iš atomų.

Matematikas Paulas Erdosas žavėjosi skaičių teorija, kuri iš esmės reiškia įvairius sveikųjų skaičių savybių tyrimus. Jo manymu, jeigu kokia nors matematinė problema lieka neišspręsta daugiau negu šimtą metų, tai reiškia, kad ji – iš skaičių teorijos srities.

Carlas Gaussas yra pasakęs: matematika yra mokslų karalienė, o skaičių teorija – matematikos karalienė. Šioje tradicinėje, bet sudėtingoje srityje ir darbuojasi prof. A. Laurinčikas su prof. R. Garunkščiu.

Dabar matematika taip sparčiai vystosi, kad nebėra žmogaus, galinčio aprėpti ir suvokti matematikos plėtrą. Paskutinis žmogus, kuris suprato visą matematiką, buvo Davidas Hilbertas, gyvenęs prieš šimtą metų.

„1900 metais jis suformulavo pagrindines 24 matematines problemas, kurių daugelis yra išspręstos. Jos labai stipriai matematikos vystymąsi pastūmėjo į priekį. O 2000 metais buvo paskelbtos tūkstantmečio problemos. Privatus institutas paskelbė septynias problemas, iš kurių viena jau netikėtai išspręsta. Kas įdomiausia, iš D. Hilberto išvardintų problemų liko vienintelė. Taip vadinamoji Riemanno hipotezė, ties kuria mes darbuojamės“, – pasakoja R. Garunkštis.

Iššūkis matematikams – surasti tvarką chaose

Pamėginkime išsiaiškinti jų darbo esmę. Paprasčiausia skaičių aibė – natūraliųjų skaičių seka: 1, 2, 3, 4, 5 ir t. t. Jos tęsinį lengva prognozuoti ir čia įžvelgti kokį nors iššūkį matematikui būtų sunku.

„Pagrindinis skaičių teorijos objektas yra šios aibės poėmis. Tai pirminiai skaičiai. Tokie skaičiai, kurie dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Tai būtų 2, 3, 5, 7 ir t. t. Šita skaičių seka pasižymi jau visiškai kitomis savybėmis. Tai chaotiška skaičių seka, neprognozuojama, niekas negali pasakyti, koks bus n+1 pirminis, jeigu žino kažkokį n-tąjį pirminį. Tai absoliutus chaosas. Ir tokie dalykai traukia matematikus, nes yra didelis iššūkis surasti kažkokią tvarką chaose“, – atskleidžia R. Garunkštis.

„Matematikoje sprendžiant skaičių teorijos uždavinius, reikia įrodyti, kad tam tikrų skaičių yra be galo daug. Skaičiavimai čia nieko neduoda. Reikia tam tikrų metodų, įrankių ir mes dirbame su tokiais įrankiais. Vienas iš jų – dzeta funkcijos, kurios turi daugybę paslapčių ir daug įdomių savybių“, – sako A. Laurinčikas.

Šveicarų matematikas Leonhardas Euleris XVIII amžiuje pirmasis įvedė vadinamąją dzeta funkciją. Ji vadinama matematiko Riemanno dzeta funkcija, nes šis vokiečių matematikas susiejo šias dvi struktūras – pirminių skaičių chaosą su kito objekto savybėmis, vadinamomis Riemanno dzeta funkcijos savybėmis.

„Čia įdomu, kad pirminiai skaičiai yra diskreti struktūra, atskiri gabaliukai. O Riemanno dzeta funkcija – tolydi struktūra. Tai kažkoks vienas dalykas, viena funkcija. Visiškai kitokia šito dalyko prigimtis. Tai funkcijų teorija. Mūsų problema – pirminių skaičių pasiskirstymo chaosas, pervestas į visiškai kitokią struktūrą. Čia ir yra visas įdomumas. Mūsų darbas labiausiai siejasi su dzeta funkcijomis. Buvo įvestos kitos dzeta funkcijos. Galbūt kertinis dalykas, kurį mes tyrinėjame, yra vadinamoji universalumo teorija – dzeta funkcijų universalumo teorija“, – pasakoja R. Garunkštis.

Profesorius A. Laurinčikas yra vienas žymiausių pasaulyje universalumo teorijos specialistų. Laureatams pavyko iš esmės praplėsti universalių dzeta funkcijų klasę. Dzeta funkcijos universalumas reiškia, kad joje telpa visos kitos funkcijos. Be to, darbe daug dėmesio skirta dzeta funkcijų nulių išsidėstymo tyrimams. Tai svarbu, nes nulių pasiskirstymas dažniausiai glaudžiai susijęs su pirminių skaičių pasiskirstymu. Ar tai reiškia, kad žinant vieną pirminį skaičių, tokie tyrimai leis numatyti, koks yra toliau einantis pirminis skaičius?

„Į šį klausimą iš principo negalėsime atsakyti, todėl šis klausimas formuluojamas kitaip. Apibrėžiamos tokios funkcijos, kurios truputį labiau „suvidurkintos“, apie kurių elgesį jau galima kažką pasakyti. Tai gana sudėtingi matematiniai objektai. Dzeta funkcijų savybių tyrimai leidžia spręsti apie tų pirminių skaičių pasiskirstymą“, – aiškina R. Garunkštis.

Kai kurios cikadų rūšys gyvena pirminių skaičių ritmu

Taigi, aiškindamiesi pirminių skaičių aibės struktūrą, matematikai išmoksta užduoti reikšmingus klausimus, į kuriuos gali tikėtis prasmingų atsakymų. Gyvi organizmai irgi sumaniai naudojasi skaičių magija praktiniais tikslais. Taip pat ir pirminių skaičių savybėmis.

Maždaug prieš du milijonus metų Žemėje išsivystė vabzdžiai cikados. Kai kurios jų rūšys gyvena pirminių skaičių ritmu. Beveik visą gyvenimą jos praleidžia po žeme, misdamos augalų šaknų sultimis. Tačiau išmušus valandai X, milijonai vabzdžių išlenda į paviršių, dauginasi ir po to miršta.

Įdomu, kad jos taip elgiasi itin reguliariai – kas 13 ir 17 metų. Tai pirminiai skaičiai, kurie dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Kodėl būtent tais metais? Todėl, kad šitaip jos išvengia natūralių savo priešų, kurių dauginimosi ciklai yra lygūs dvejiems, trejiems, arba šešeriems metams.

Šie pirminių skaičių ciklai susiformuoja iš evoliucinių matematinių aukos ir grobuonies sąveikos modelių. Modeliavimo eksperimentai parodė, kad skaitmeninės cikadų populiacijos įgyja tokį pat periodiškumą. Be abejo, kol kas neaišku, kodėl tik kai kurių rūšių cikados taip elgiasi, kokie parazitai privertė cikadas pasirinkti tokį periodiškumą ir t. t. Tačiau šis ir kiti pavyzdžiai liudija, jog gyvasis pasaulis paklūsta matematikai. Tik mes dar labai mažai apie tai žinome. Pirminiai skaičiai turi daug paslapčių.

„Yra tokios pirminių skaičių poros: 3–5, skirtumas – 2; 5–7, skirtumas – 2… Jie vadinami pirminiais dvyniais. Iki šių dienų matematikai nežino, ar tokių porų yra be galo daug. Jeigu pavyktų tą įrodyti, tai būtų pasaulinis rezultatas ir matematinė visuomenė tą žmogų vertintų labai aukštai“, – įsitikinęs A. Laurinčikas.

Sprendžiant tokius uždavinius, neretai sukuriami labai galingi metodai, taikomi įvairiose srityse. Atsiranda naujos matematikos šakos: algebrinė skaičių teorija arba algebrinė geometrija. Taigi teorinė matematika – ir proto mankšta, ir bandymas suvokti pasaulį.

Pastaraisiais metais kai kurių problemų matematiniai įrodymai yra tokie abstraktūs ir sudėtingi, kad jų patvirtinimas užtrunka ne vienerius metus. Matematikas Thomas Halesas laukė penkerius metus, kol recenzentai nusprendė, jog jo pateiktame vienos geometrinės problemos įrodyme nėra klaidų ir darbą galima spausdinti. Bet su sąlyga, jog bus pažymėta, kad jie nėra įsitikinę įrodymo teisingumu.

Pasiekė didžiulį abstraktumo laipsnį

Matematika pasiekė tokį abstraktumo laipsnį, kad net ekspertai ne visada gali ją suprasti. Fizikai jau seniau buvo su tuo susidūrę. Werneris Heisenbergas XX amžiaus pradžioje nuogąstavo, kad žmonės niekada iš esmės nesupras, kas yra atomas. Tačiau proto pergalės nuolat paneigia pesimistines prognozes.

„Ankstesni laikai buvo natūralaus pasaulio tyrimai. Šiais laikais teoriniame moksle įdomus yra dirbtinių pasaulių tyrimas ir net dirbtinių pasaulių kūrimas. Šioje vietoje – dirbtinių pasaulių tyrime – matematika yra idealus instrumentas“, – tvirtina R. Garunkštis.

Beje, matematika padeda ir mokesčių inspekcijai. Naudojant Benfordo dėsnį, galima aptikti suklastotas sąskaitas. Sukčius skaičius sąskaitoje surašo, jo manymu, atsitiktine tvarka. Todėl maždaug dešimtadalis visų skaičių prasideda vienetu, kitas dešimtadalis – dvejetu ir t. t. Tačiau pagal matematiškai pagrįstą Benfordo dėsnį sąžiningose sąskaitose tikimybė, kad skaičius prasidės vienetu, yra lygi beveik 30-čiai procentų, kad dvejetu – 18-kai procentų, ir panašiai.

Per pastaruosius dešimt metų labai sparčiai vystosi biomatematika, nes matematiniai metodai padeda geriau suvokti, kaip atsirado gyvybė, kaip ji funkcionuoja ir kaip organizmai sąveikauja su aplinka. Pvz., kodėl virusų galvutės yra dvidešimt plokštumų turinčios figūros – ikosahedrono – formos ir kaip mazgų teorija aiškina DNR formą ląstelėje. Arba kaip mikrobas Physarum polycephalum sugeba suprojektuoti idealų geležinkelių tinklą. Bet egzistuoja ir grįžtamasis ryšys.

„Kiti mokslai irgi pritaikomi matematikoje. Gražus pavyzdys būtų iš biologijos. Pavyzdžiui, neuroprogramavimas – neaišku, ar teoriškai tai iki galo suprantamas dalykas, bet tai yra tam tikra matematinė smegenų kopija ir ji naudojama atpažįstant tekstus bei vaizdus. Galima sakyti, kad tai biologijos taikymas matematikoje“, – sako R. Garunkštis.

Pastaruoju metu kompiuteriai ir kompiuterinė grafika labai praverčia matematikams. Jie padeda mąstyti, peržengiant žmogiškosios intuicijos ribas, kartais leidžia gauti rezultatus, dar prieš juos formaliai įrodant. Matematinės teorijos numato reiškinius, kurių egzistavimas patvirtinamas po dešimtmečių. Taip Maksvelo lygtys numatė radijo bangų egzistavimą, o Paulo Diraco lygtys – kad egzistuoja antimedžiaga.

Gali būti, kad tokie matematikos instrumentai, kaip vadinamosios didelės LIE grupės, kada nors padės mokslininkams sukurti vientisą fizikos teoriją ir paaiškinti Visatos sandarą.